Lớp 11Toán

Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A’, B’,C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

(a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương tứng thành A’, B’,C’

Bạn đang xem: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

(b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

(c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F

(d) Gọi A”, B”,C” lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1,C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A’1, B’1,C’1 tương ứng là chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C, A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số .

(e) Chứng minh chín điểm A’, B’,C’,A”, B”,C”,A’1, B’1, C’1 cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC)

Lời giải

Hướng dẫn

a) Dựa vào định nghĩa phép vị tự và tính chất trọng tâm của tam giác.

b) Chứng minh hai vectơ Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11 cùng phương.

c) Dựa vào định nghĩa phép vị tự.

d) Sử dụng tính chất của phép vị tự: Ảnh của đường tròn qua phép vị tự là 1 đường tròn.

Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

a) Ta có:

Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Vậy phép vị tự tâm G tỉ số Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11 biến A, B, C thành A′, B′, C′

b) A’ là trung điểm của dây BC nên OA′ ⊥ BC

Ta có: BC // C′B′ ⇒ OA′ ⊥ B′C′

Suy ra, trong tam giác A’B’C’ thì OA’ là đường cao kẻ từ A’.

Tương tự, OB’ là đường cao kẻ từ B’, suy ra O là trực tâm của tam giác A′B′C′.

H là trực tâm của tam giác ABC và O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên O là ảnh của H trong phép vị tự tâm G tỉ số Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Suy ra Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Do vậy, ba điểm O, G, H thẳng hàng.

c) Gọi O’ là ảnh của O trong phép vị tự F(G;−1/2) ta có:

Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Đẳng thức này chứng tỏ điểm O’ là trung điểm của đoạn thẳng OH.

d) Gọi A′′, B′′, C′′ lần lượt là trung điểm của AH ,BH ,CH ta có:

Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Vậy A′′, B′′, C′′ là ảnh của các điểm A, B, C trong phép vị tự V(H;1/2)

Ta dễ dàng chứng minh được A′1, B′1, C′1 theo thứ tự là trung điểm của HA1, HB1, HC1 nên 

Giải Toán 11: Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11 | Giải bài tập Toán 11

Như vậy A′1, B′1, C′1 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1

e) Gọi A2, B2, C2 lần lượt là điểm đối xứng của A, B, C qua O.

Ta dễ dàng chứng minh được: BHCA2, AHCC2, CHABlà các hình bình hành.

Nên A′ là trung điểm HA2; B′ là trung điểm HB2, C′ là trung điểm HC2.

Khi đó:

Hay A′, B′, C′ là ảnh của A2, B2, C2 qua phép vị tự V(H;1/2)

Từ đó 9 điểm A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′, A′1, B′1, C′1 lần lượt là ảnh của A2, B2, C2, A, B, C, A1, B1, C1 qua phép vị tự V(H;1/2)

Mà A2, B2, C2, A, B, C, A1, B1, C1 thuộc đường tròn (O) nên A′, B′, C′, A′′, B′′, C′′, A′1, B′1, C′1 thuộc đường tròn (O1) với O1 là ảnh của O qua phép vị tự V(H;1/2).

Xem toàn bộ Giải Toán 11: Bài tập ôn tập cuối năm

Đăng bởi: THPT Ninh Châu

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button